Les trois lois de Kepler vérifiées sur les 8 planètes

Trois lois écrites il y a plus de quatre siècles décident encore de l'altitude exacte à laquelle un satellite de télévision reste immobile au-dessus de l'équateur. Les lois de Kepler ne sont pas un chapitre d'histoire des sciences : elles servent tous les jours, et elles se vérifient avec des chiffres publics que n'importe qui peut recalculer.

Les trois lois de Kepler décrivent le mouvement d'un corps en orbite : l'orbite est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, la ligne Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux, et le carré de la période égale le cube du demi-grand axe, en unités astronomiques et en années. Publication : 1609 et 1619.

Kepler s'est appuyé sur les observations de Tycho Brahe, dont il avait hérité à la mort de celui-ci en 1601. Le travail a porté spécifiquement sur l'orbite de Mars, et le titre complet d'Astronomia Nova le dit lui-même : un traité en commentaires sur les mouvements de la planète Mars, à partir des observations de Tycho Brahe.

Ce détail explique tout le reste. Mars a une excentricité de 0,09339410 d'après les éléments képlériens du JPL, la plus forte des planètes intérieures après Mercure. Assez pour qu'un modèle circulaire craque de façon visible dans les données de Brahe, et pas assez pour qu'on l'ait remarqué avant lui.

Presque toutes les fiches de vulgarisation racontent cet épisode à l'envers. Kepler a découvert la deuxième loi avant la première, même si les deux paraissent ensemble dans Astronomia Nova en 1609.

L'ordre logique dans lequel on les enseigne, ellipse puis aires, n'est pas l'ordre dans lequel elles ont été trouvées. Kepler tenait déjà la règle de balayage avant de renoncer au cercle.

Une nuance à garder en tête sur la datation : plusieurs sources académiques, dont l'article Wikipedia consacré aux lois de Kepler, situent la formulation moderne et définitive de la loi des aires dans l'Epitome Astronomiae Copernicanae de 1621, alors que le principe est déjà présent et démontré dans Astronomia Nova en 1609. Dater la découverte et la première publication de 1609 est exact ; affirmer que la formulation employée aujourd'hui date mot pour mot de 1609 ne l'est pas.

Selon la NASA, l'énoncé de la première loi tient en deux phrases : l'orbite de chaque planète autour du Soleil est une ellipse, et le centre du Soleil se trouve toujours à l'un des foyers de cette ellipse. La deuxième dit que la ligne imaginaire joignant une planète au Soleil balaie des aires égales de l'espace pendant des intervalles de temps égaux, à mesure que la planète parcourt son orbite.

La troisième loi arrive une décennie après les deux premières, publiée en 1619 dans Harmonices Mundi. Elle s'écrit p² = a³ : le carré de la période orbitale d'une planète est directement proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite, toujours selon la NASA.

Dix ans d'écart entre les deux premières lois et la troisième. C'est un intervalle qu'on oublie systématiquement quand on récite « les trois lois de Kepler » d'un seul souffle, comme si elles étaient sorties du même carnet le même hiver.

C'est ici que la loi cesse d'être un énoncé pour devenir une mesure. Le tableau ci-dessous reprend le demi-grand axe et l'excentricité des huit planètes tels que publiés par le JPL Solar System Dynamics de la NASA, ainsi que leur période de révolution sidérale. La dernière colonne, elle, ne vient d'aucune publication : c'est le rapport a³/T² que j'ai calculé à partir des deux colonnes précédentes. La troisième loi impose qu'il vaille 1 pour toute planète en orbite autour du Soleil, dès lors qu'on compte les distances en unités astronomiques et les périodes en années.

Huit rapports, tous compris entre 0,99997 et 1,00122. Une loi de 1619 dont le rapport ne s'écarte jamais de 1 de plus de 0,00122, sur des orbites dont la plus longue dure 164,79132 ans, avec des données mesurées par des sondes et des radars que Kepler n'aurait pas su nommer.

L'écart résiduel n'est pas réparti au hasard. Les quatre planètes intérieures, Mercure, Vénus, la Terre et Mars, restent collées à 1 ; les quatre géantes, Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, s'en écartent davantage. La forme initiale de la troisième loi néglige la masse de la planète devant celle du Soleil. Newton a réglé ce point, on y vient plus bas. Une réserve quand même sur la lecture de cette colonne : l'écart ne se range pas par masse décroissante. Saturne, deuxième planète la plus massive, s'écarte moins qu'Uranus et Neptune, qui sont bien plus légères. Le demi-grand axe et la période ne viennent pas du même tableau du JPL, et je n'ai pas de quoi dire ce qui reste, dans ces dernières décimales, de physique et ce qui tient à l'ajustement des éléments.

Le tableau dit aussi autre chose sur la première loi. L'excentricité de la Terre vaut 0,01671123, celle de Vénus 0,00677672 : à cette échelle, les orbites sont des ellipses tellement proches du cercle qu'un dessin honnête est indiscernable d'un rond. Toutes les illustrations d'école qui montrent une planète sur une ellipse très aplatie mentent sur la forme réelle, tout en ayant raison sur le principe. Mercure, avec 0,20563593, est la seule à s'écarter franchement.

D'où viennent ces chiffres, et pourquoi pas de la source habituelle#

Un mot sur la méthode, parce qu'elle change la provenance des données. La référence que tout le monde cite pour ce genre de tableau, la Planetary Fact Sheet du NSSDC, était hors ligne au moment de la collecte : le site renvoie une page de maintenance annonçant que l'archive de la NASA est temporairement indisponible. Les valeurs ci-dessus viennent donc du JPL Solar System Dynamics, également NASA, et à jour.

Ce n'est pas une source de repli au rabais, mais ce n'est pas la même page, et les chiffres ne sont pas rigoureusement identiques. Des valeurs très proches, publiées antérieurement par la même institution à une époque de référence légèrement différente, divergent dans les dernières décimales : Mercure à 0,38709893 au lieu de 0,38709927, Jupiter à 5,20336301 au lieu de 5,20288700. Ce recoupement provient de fiches archivées retrouvées via des extraits de recherche, le site principal étant inaccessible : à prendre comme un ordre de grandeur d'écart, pas comme une mesure concurrente.

La version newtonienne de la troisième loi s'écrit a³/T² = G(M+m)/4π². Elle vaut pour tout couple d'objets en orbite l'un autour de l'autre, et elle inverse le problème : au lieu de prédire une période à partir d'une distance, elle donne une masse à partir d'une distance et d'une période. La NASA résume la portée sans détour : cette forme permet de calculer la masse de deux objets quelconques dans l'espace si l'on connaît leur distance et le temps qu'ils mettent à s'orbiter mutuellement.

Les applications que cite l'agence sont la masse des lunes planétaires, celle des étoiles binaires, celle des trous noirs via le mouvement des étoiles proches, celle des exoplanètes, et la présence de matière noire dans les galaxies.

Le cas le plus spectaculaire est celui du trou noir central de notre Galaxie. Selon l'ESO, l'étoile S2 boucle une orbite complète autour de lui en 16 ans, sur une trajectoire très excentrique qui l'amène jusqu'à environ vingt milliards de kilomètres, soit 120 fois la distance Terre-Soleil, à son passage au plus près. De cette orbite se déduit une masse d'environ quatre millions de fois celle du Soleil.

Ce chiffre a bougé. En 2002, l'ESO annonçait 2,6 millions de masses solaires, sur une période orbitale alors mesurée à 15,2 ans à partir d'un arc d'orbite incomplet. Il a fallu attendre 2018 et une orbite entière parcourue pour arriver aux quatre millions retenus aujourd'hui. Même loi, même méthode, même équipe : c'est la couverture de l'orbite qui a changé. Un trou noir supermassif se pèse comme une planète, à condition d'avoir la patience d'attendre le tour complet, et les observations du centre galactique continuent d'affiner ce qu'on y voit.

L'orbite géostationnaire est la démonstration la plus quotidienne de la troisième loi. On impose la période, 24 heures, et la loi rend le rayon. Le calcul détaillé donne un rayon orbital de 42 164 kilomètres depuis le centre de la Terre ; en retirant le rayon équatorial terrestre de 6 378 kilomètres, il reste 35 786 kilomètres d'altitude. L'ESA publie la même valeur, en précisant que ces satellites se déplacent à environ 3 kilomètres par seconde pour suivre la rotation terrestre.

Sauf que le CNES, sur sa page grand public consacrée aux orbites, affiche 35 880 kilomètres. Deux agences spatiales, deux valeurs publiées, sur une donnée que tout le monde présente comme fixe.

Je ne tranche pas, et je n'ai rien pour le faire : aucune des deux pages n'explicite sa méthode ni son arrondi. La valeur de 35 786 kilomètres est celle qui découle du calcul képlérien détaillé et celle que publie l'ESA, c'est donc celle que je retiens comme référence de travail. Mais un lecteur qui tomberait sur le chiffre du CNES et croirait à une coquille de notre part a le droit de savoir que les deux circulent, publiés l'un et l'autre par des sources institutionnelles.

Ce genre d'écart en dit long sur la façon dont les chiffres voyagent. Une valeur arrondie une fois dans une brochure devient une référence citée mille fois, et plus personne ne remonte au calcul. La mécanique céleste, elle, ne connaît que le calcul : c'est bien pour ça que les points de Lagrange se placent au kilomètre près sans qu'on ait à voter dessus.

Quelles sont les trois lois de Kepler en une phrase chacune ?#

Première loi : l'orbite de chaque planète autour du Soleil est une ellipse dont le centre du Soleil occupe l'un des foyers. Deuxième loi : la ligne joignant la planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. Troisième loi : le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi-grand axe, ce qui s'écrit p² = a³.

Kepler a-t-il trouvé ses lois dans l'ordre où on les numérote ?#

Non. Il a découvert la deuxième loi, celle des aires, avant la première, celle de l'ellipse, même si les deux sont publiées ensemble en 1609 dans Astronomia Nova. La troisième arrive dix ans plus tard, en 1619, dans Harmonices Mundi.

Sur quelles observations les deux premières lois reposent-elles ?#

Sur les observations de Tycho Brahe, dont Kepler a hérité à la mort de celui-ci en 1601. Le travail a porté spécifiquement sur l'orbite de Mars, dont l'excentricité de 0,09339410 rendait l'écart au cercle mesurable dans les données de l'époque.

La troisième loi est-elle exacte pour toutes les planètes ?#

À une excellente approximation. Le rapport a³/T² calculé depuis les données du JPL vaut entre 0,99997 pour Mercure et 1,00122 pour Neptune, alors que la loi prédit exactement 1. L'écart se concentre sur les quatre géantes, sans se ranger exactement par masse. La forme newtonienne a³/T² = G(M+m)/4π², qui tient compte de la masse des deux corps, corrige la part de cet écart qui vient de la masse de la planète.

À quoi la troisième loi sert-elle aujourd'hui ?#

À calculer des masses. La NASA cite les lunes planétaires, les étoiles binaires, les trous noirs via le mouvement des étoiles proches, les exoplanètes et la matière noire dans les galaxies. Elle sert aussi à fixer le rayon d'une orbite de période donnée, comme l'orbite géostationnaire.

Pourquoi les orbites des planètes semblent-elles circulaires sur les schémas ?#

Parce qu'elles le sont presque. Les excentricités relevées par le JPL vont de 0,00677672 pour Vénus à 0,20563593 pour Mercure ; la Terre est à 0,01671123. À cette valeur, l'ellipse est visuellement indiscernable d'un cercle, et c'est la position décentrée du Soleil qui trahit sa vraie nature.

Rien de tout cela ne rend l'observation plus facile depuis un jardin, mais ces trois lois expliquent la plupart des rendez-vous du calendrier : pourquoi la distance Terre-Lune varie entre périgée et apogée, pourquoi la Terre passe à son aphélie début juillet, et pourquoi le cycle des phases lunaires revient avec cette régularité. Pour situer les objets dont il est question ici dans le ciel réel, notre guide des coordonnées célestes prend le relais.

• NASA Science, Orbits and Kepler's Laws
• NASA JPL Solar System Dynamics, éléments képlériens approchés des planètes
• NASA JPL Solar System Dynamics, paramètres physiques des planètes
• Wikipedia, Astronomia nova
• Wikipedia, Kepler's laws of planetary motion
• ESA, Types of orbits
• Wikipedia, Geostationary orbit
• CNES, dossier orbites
• ESO, communiqué eso1825 sur l'étoile S2 et Sagittarius A*
• ESO, communiqué eso0226 sur la première estimation de masse du trou noir central
• NASA, page de maintenance du NSSDC